Війчук Т.І.,
доцент кафедри математики та методики викладання математики Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка, кандидат педагогічних наук
Навчання учнів створенню математичних моделей у процесі розв’язування прикладних задач у 5-9 класах
У статті представлено результати дослідження проблеми навчання учнів методу математичного моделювання на уроках математики в 5-9 класах. Розкрито методичні підходи до формування в учнів навичок створення математичних моделей у процесі розв’язування прикладних задач.
Ключові слова: математичне моделювання, прикладна задача, створення математичної моделі, етапи розв’язування прикладної задачі.
Постановка проблеми. У Законі України "Про загальну середню освіту", Державній національній програмі "Освіта" (Україна ХХІ ст.) визначено напрями розвитку національної системи освіти, спрямовані на підвищення інтелектуального потенціалу нації, виховання творчої особистості, здатної брати активну участь у розбудові української держави [1]. Значний потенціал для досягнення цієї мети має шкільний курс математики.
З кінця ХІХ століття й дотепер відбувається "математизація" усіх сфер життя, навіть таких, які вважались нематематичними: поетики, лінгвістики, медицини, психології, теорії мистецтва, педагогіки. А спеціальності, пов’язані з економікою, технікою, інформаційними технологіями та інші, потребують від молодого спеціаліста поглибленої математичної підготовки.
У зв’язку з цим важливого значення набула потреба ознайомлення учнів з одним із найважливіших математичних методів наукового дослідження навколишньої дійсності – методом математичного моделювання. У цьому контексті пріоритетне значення мають цілі навчання математики у школі, спрямовані на формування в учнів умінь будувати математичні моделі найпростіших реальних явищ і процесів.
Ураховуючи зазначене вище, вважаємо, що на сучасному етапі розвитку шкільної математичної освіти в умовах особистісно-орієнтованого навчання, рівневої і профільної диференціації проблема навчання учнів розв’язування задач методом математичного моделювання у процесі вивчення математики, зокрема – переформулювання прикладної задачі з природної мови тієї галузі, де вона виникла, мовою математики та створення адекватної математичної моделі, є актуальною і потребує ґрунтовного дослідження.
Аналіз актуальних досліджень. В останні роки у педагогічній пресі зросла кількість публікацій, присвячених навчанню учнів методу математичного моделювання. Серед авторів можна відзначити Л. Нічуговську, Л. Панченко, С. Семенця, О. Гриб’юк, Н. Войналович, Л. Бойко, О. Кононову, М. Бусленко, Б. Гнеденко, С. Великодного та інших. Низка статей належить В.О.Швецю. Зазвичай, у публікаціях представлено варіанти методичних розробок для ознайомлення учнів з етапами математичного моделювання в межах шкільної програми, а також системи задач, завдань і запитань до них. Недостатньо уваги, на нашу думку, в дослідженнях приділено проблемі навчання учнів побудови математичної моделі, зокрема переформулювання прикладної задачі з природної мови тієї галузі, де вона виникла, мовою математики. Це питання потребує подальшого дослідження.
Мета статті – розкриття методичних прийомів навчання учнів створення математичної моделі прикладної задачі.
Виклад основного матеріалу. Метод математичного моделювання є сучасним потужним пізнавальним методом та ефективним засобом розв’язування прикладних задач. Він ґрунтується на застосуванні математичної моделі як засобу дослідження реальних об'єктів, процесів чи явищ і полягає у здійсненні певної послідовності етапів. Етапи математичного моделювання за суттю в усіх дослідників схожі й досить широко висвітлені в науковій та навчальній літературі. Для прикладу, В. О. Швець виділяє такі етапи розв’язування прикладної задачі у школі методом математичного моделювання [4]:
1. Створення математичної моделі – переклад задачі з природної мови тієї галузі, де вона виникла, мовою математики.
2. Дослідження математичної моделі – розв'язування отриманої математичної задачі.
3. Інтерпретація розв’язків отриманих результатів, тобто переклад розв'язку математичної задачі з мови математики мовою тієї галузі, де вона виникла.
Наші дослідження та відгуки вчителів математики дають підстави стверджувати, що найбільш складним для учнів є перший етап. Математизація прикладної задачі та побудова математичної моделі є досить серйозною проблемою для учнів, оскільки вони недостатньою мірою вміють здійснювати таке:
- декодувати інформацію, закладену в умові прикладної задачі;
- абстрагуватись від неістотних властивостей об’єктів, що досліджуються в задачі;
- виявляти та правильно інтерпретувати взаємозв’язки між об’єктами, що розглядаються в умові задачі;
- формалізувати запитання задачі, виразивши шукані величини через відомі та введені змінні.
Це зумовлено тим, що ознайомлення з математичним моделюванням у школі має епізодичний характер; відсутня також науково обґрунтована методична система такого навчання у процесі вивчення шкільної математики; у шкільних підручниках розміщено недостатню кількість прикладних задач.
Основна складність для учнів у процесі математизації тексту прикладної задачі полягає у правильному доборі математичної моделі, якою може бути рівняння, нерівності або їх системи, функції тощо.
Одним із факторів, що негативно впливають на формування в учнів навичок створення математичної моделі, є складання вчителем плану розв’язування прикладних задач синтетичним методом. Тому учні одразу розуміють, значення якої величини доцільно прийняти за x та яким буде рівняння. Отже, учням пропонується вже готова математична модель у вигляді рівняння, системи рівнянь, нерівності чи функції тощо, з розв’язуванням якої вони справляються добре. Але якщо учням потрібно самостійно скласти модель задачі, то в них одразу виникають запитання: що позначити за допомогою x, які саме невідомі величини виражають через x та як скласти рівняння.
Критеріями підготовленості учнів до самостійної реалізації першого етапу розв’язування прикладної задачі методом математичного моделювання є сформованість у них відповідних умінь:
- виділяти істотні факти, що визначають досліджуване явище (процес);
- визначати основні взаємозв’язки між компонентами досліджуваної проблеми;
- аналізувати повноту даних, які є в умові задачі;
- вибирати математичний апарат для побудови моделі тощо.
Для того, щоб переформулювати зміст задачі мовою математики, учням необхідно ретельно вивчити і правильно тлумачити задачу, формалізувати запитання в ній, виразивши шукані величини за допомогою відомих та введених змінних. На цьому етапі в учнів виникають різноманітні за характером проблеми. Іноді вони пов’язані з нерозумінням фізичних, хімічних, економічних термінів, законів, залежностей. Так, далеко не всі чітко усвідомлюють співвідношення між відстанню, швидкістю і часом в умовах рівномірного та нерівномірного руху, між концентрацією речовини і її часткою у сумішах, між обсягом виконаної роботи і продуктивністю праці тощо. Учні відчувають труднощі у визначенні швидкості зближення об’єктів при русі назустріч або в одному напрямку, незначною мірою орієнтуються в русі по колу, затрудняються у виборі розмірності в розв’язуванні задач на спільну роботу. Також у процесі складання математичної моделі учні відволікаються на несуттєві для конкретної задачі властивості об’єктів, на другорядні умови, що не впливають на розв'язок задачі.
Для подолання цих труднощів під час розв’язування задач вчителю доцільно використовувати не тільки математичні моделі задач, а й інші допоміжні моделі (рис. 1).
Рис. 1. Математичні та допоміжні моделі задач
Формування навичок математичного моделювання під час розв’язування прикладних задач потрібно розпочинати ще в 5-6 класах.
Під час розв’язування задач прикладного змісту в ході створення математичної моделі доцільно дотримуватися такої послідовності дій:
1. За допомогою допоміжних моделей виділити взаємозв’язки та істотні властивості об’єктів, що досліджуються в умові задачі.
2. За допомогою знаково-символічних моделей створити неформальну модель (неформальна модель – це нестрогий опис процесу, у якому пояснюються виділені залежності між об’єктами, але, у той же час, не дано можливості з точністю перевірити ступінь логічного взаємозв'язку його властивостей [2]).
3. Засобами математичної мови створити математичну модель прикладної задачі.
Наприклад:
Задача 1. На склад привезли 32 бочки олії і 24 ящики масла. Яка маса однієї бочки олії і одного ящика масла, якщо кожна бочка втричі важча від ящика, а загальна маса привезеного товару становить 3360 кг?
1. Виділимо співвідношення між об’єктами, які розглядаються в задачі.
2. Опишемо співвідношення між об’єктами.
| Кількість | Маса однієї | Загальна маса | Разом | |
| Масло | 24 ящики | х | х∙24 | 3360 кг |
| Олія | 32 бочки | 3х | 3х∙32 |
3. Складемо рівняння (математична модель задачі): 24х + 96х = 3360.
У 7-9 класах також доцільно використовувати допоміжні моделі для створення математичної моделі прикладної задачі.
Наприклад:
Задача 2.
У посудину з 24% розчином солі додали 2 кілограми 15% розчину солі. У результаті отримали розчин з концентрацією 20%. Скільки кілограмів 24% розчину солі було в посудині?
1. Виділимо співвідношення між об’єктами, які розглядаються в задачі.
2. Опишемо співвідношення між об’єктами.
3. Складемо математичну модель задачі.
Нехай у посудині було х кг розчину концентрацією 24%. Тоді
0,24∙х + 0,12∙2 = 0,2 (х + 2)
Отже, переклад прикладної задачі на математичною мовою проводиться у два прийоми. Спочатку текст задачі частково зберігається і є спільно з елементами математичної мови (знаками дій і знаком рівності) основою для майбутньої математичної моделі. І тільки після цього природна мова повністю замінюється математичною і складається математична модель.
Висновки. Для формування в учнів умінь створення математичної моделі під час розв’язування прикладної задачі доцільно дотримуватись такої послідовності дій:
- а допомогою допоміжних моделей виділити взаємозв’язки та істотні властивості об’єктів, що досліджуються в умові задачі;
- за допомогою знаково-символічних моделей створити неформальну модель задачі;
- створити математичну модель задачі.
Для організації ефективної навчальної діяльності учнів із розв’язування прикладних задач методом математичного моделювання потрібно використовувати евристичні запитання; абстрагуватись від властивостей об’єкта, несуттєвих для побудови математичної моделі; допомагати учням чітко вказувати на відмінності між об’єктом та його моделлю; формулювати умову і вимогу прикладної задачі мовою математики.
Список використаних джерел
- Закон України "Про загальну середню освіту" // Освіта. – 1997. – С. 6-11.
- Кирилюк, Л.Л. Використання математичного моделювання при розв’язуванні задач у курсі алгебри основної школи / Л.Л.Кирилюк // Вересень. – 2009. – № 3-4 (48-49). – С. 72-78.
- Панченко, Л.В. Система прикладних задач як засіб формування вмінь математичного моделювання у майбутніх вчителів математики / Л.В.Панченко // Математика в школі. – 2004. – № 9-10. – С. 21-28.
- Швець, В.О. Математичне моделювання як змістова лінія шкільного курсу математики / В.О.Швець // Дидактика математики : проблеми і дослідження : міжнародний збірник наукових робіт. – Донецьк : Вид-во ДонНУ, 2009. – № 32. – С. 16-23.
Вийчук, Т.И. Обучение учеников созданию математических моделей в процессе решения прикладных задач в 5-9 классах
В статье представлены результаты исследования проблемы обучения учеников методу математического моделирования на уроках математики в 5-9 классах. Раскрыты методические подходы к формированию у учеников навыков создания математических моделей в процессе решения прикладных задач.
Ключевые слова: математическое моделирование, прикладная задача, создание математической модели, этапы решения прикладной задачи.
Viychuk, T.I. Teaching Students Creating Mathematical Models in Solving Applied Problems in Forms 5-9
The paper presents the results of research on teaching students the method of mathematical modeling at mathematics lessons in forms 5-9. Methodological approaches to the development of students' skills in creating mathematical models in the process of solving applied problems are revealed.
Key words: mathematical modeling, applied task, creation of mathematical models, stages of solving applied tasks.